¿POR QUÉ LAS MATEMÁTICAS NOS PARECEN VERDADES ABSOLUTAS?
Café Filosófico 345

22 de octubre del 2005
Carmen Zavala

Hoy en día, tanto desde la cantera de los intelectuales liberales como desde la de algunos intelectuales marxistas algo errados, se tiene como actitud “intelectual y políticamente “ correcta, negar la existencia de verdades absolutas.

La pregunta de si el hombre puede o no adquirir ciertos conocimientos certeros, en base a verdades absolutas, es de primordial trascendencia, por las consecuencias políticas y sociales que de las respuestas se desprenden, y fue planteado ya desde los orígenes de la filosofía y probablemente desde los orígenes de toda civilización.

Así tenemos que a pesar de que el tema que más le preocupaba a Sócrates y a Platón era la ética, tuvieron que recurrir a la matemática para demostrar la validez de la posibilidad del conocimiento objetivo a través del método dialéctico, ya que sólo la matemática permite la rigidez y exactitud necesarios en las repuestas a toda pregunta, que se requería para mostrar la validez del método. Por ello en el Menón (82a-86b) intenta demostrar como el esclavo totalmente ignorante de las leyes de la matemática puede deducirlas por su propia cuenta mostrando así la validez y cognoscibilidad universal de la matemática[1] (cfr. también Teeteto (147c-148d)). Se desprendía de ello la posibilidad de todo ser humano, hombre, mujer, esclavo o ciudadano libre,  de acceder al conocimiento y de poder deducir verdad o falsedad sin intermediaciones de intérpretes de verdades reveladas por algún dios e independientemente de las opiniones arbitrarias de los grupos de poder de turno.

En tiempos contemporáneos el relativismo histórico ha dado un paso atrás en este sentido, al imponer entre la comunidad intelectual acreditada la idea de Hegel, de que todo conocimiento depende de su contexto histórico y de lo que la mayoría imperante asume como verdadero. En ese sentido decía que “lo verdadero, sólo es verdadero como sistema”, lo cual se expresaría en “la idea que revela lo absoluto como espíritu”. Con lo cual quiso decir que se habla de verdadero o falso sólo en el contexto de toda la realidad histórico social y que ésta realidad se le revela al líder imperante cuyo pensar individual coincide con lo que la gente piensa en general en determinado momento (espíritu del grupo étnico o espíritu absoluto).

Sin embargo, esta argumentación deja abierta la situación de las verdades en el ámbito de las matemáticas, pues nadie está dispuesto a aceptar seriamente que algún día 5+7 dejarán de ser 12, para pasar a ser 11 o 23000. Por ello Hegel siente la necesidad de pronunciarse también respecto a esto y afirma:

“La evidencia del conocimiento matemático se basa en la pobreza de su fin y en el carácter defectuoso de su materia. Se desarrolla por la línea de la igualdad. Trata de proposiciones fijas, muertas.” (Fenomenología del Espíritu)

Es decir que admite que las proposiciones matemáticas son universalmente verdaderas o falsas, pero las menosprecia por no tratar de “lo absoluto”. Sobre esto volveremos más adelante.

Engels retoma el tema, al tratar el asunto del conocimiento objetivo y plantea:

“Pero ¿no hay verdades tan firmes que toda duda a su respecto nos parece locura? Por ejemplo, que dos por dos son cuatro, que los tres ángulos de un triángulo suman dos rectos, que París está en Francia, que un hombre sin alimentar muere de hambre, etc. ¿Hay, pues, verdades etemas, verdades definitivas de última instancia? Ciertamente…. El que guste de aplicar palabras majestuosas a cosas muy sencillas, puede decir que ciertos resultados de estas ciencias (exactas) son verdades eternas, definitivas verdades de última instancia” (El Antidühring. IX. Moral y Derecho. Verdades Eternas)

Sea una verdad deslumbrante, “simple” o “pobre”, lo cierto es que todos espontáneamente consideramos que 5+7=12 es una verdad evidente.

La pregunta es: ¿por qué nos parece que es así?

Existen 2 principales corrientes de explicación: Una que trata de justificar la validez e importancia  de las proposiciones matemáticas, y la otra que si bien reconoce su validez, justifica su irrelevancia.

1.       La primera, inspirada en Platón, es representada, por ejemplo, por Kant y contemporáneamente por Noam Chomsky. Según esta corriente, el cerebro del ser humano está constituido física/biológicamente de tal modo, que puede captar ciertas “intuiciones anteriores al entendimiento”, tales como por ejemplo el espacio y el tiempo, que hacen posibles siquiera que se pueda captar la realidad, es decir, la realidad se nos da de antemano dentro del espacio y el tiempo. De manera análoga, la lógica, entendida como “las reglas absolutamente necesarias del pensar”, son el “cánon del entendimiento y de la razón”, según el cual está estructurado el funcionamiento del cerebro, añadiría yo, según el cual las pulsaciones y falta de pulsaciones bioquímicas en nuestro cerebro estructuran la información, análogamente a una computadora digital.

De allí resulta que la matemática es un conocimiento “sintético”, producto de que a las cantidades y magnitudes se le aplican los principios lógicos del entendimiento, esto es, los principios de identidad, no contradicción y tercio excluido. Por eso, las proposiciones de la matemática se nos presentan a todos los hombres, como siempre válidas y nos ayudan a ordenar el mundo y a enfrentar la naturaleza en base a las regularidades matematizables que encontramos en él.

2.       La otra posición, compatible con la posición de Hegel afirma que si bien las proposiciones matemáticas siempre son verdaderas, esto es mas bien algo que las desmerece como conocimiento, porque solo se puede establecer verdad y falsedad con respecto a  tautologías (evidencias que no dicen nada Ej.: siempre será verdad que :estoy vivo o estoy muerto).

En ese sentido el filósofo empirista inglés Alfred Ayer, por ejemplo, decía que no hay conocimiento verdadero posible, porque no podemos afirmar nada sobre aquello que está más allá de lo fenoménicamente verificable. El hecho de que una ley haya sido confirmada en n-1 casos no constituye garantía lógica alguna de que se confirmará también en el caso n, cualquiera que sea la amplitud que concedamos a n..Y eso significa que nunca puede demostrarse que una proposición general relacionada con la realidad sea necesaria y universalmente verdadera. Por otra parte las proposiciones de la matemática nos parecen verdaderas a priori, porque son tautológicas[2]. Pero no dicen nada “nuevo” respecto de ninguna realidad. Si a veces no entendemos inmediatamente una ecuación o proposición matemática, es sólo por nuestras propias limitaciones como seres humanos, es decir, porque nuestros cerebros funcionan como una suerte de máquinas de calcular muy lentas, Si nuestro cerebro fuese más desarrollado todos los “problemas” matemáticos los resolveríamos inmediatamente ya que su solución sería evidente para nosotros.

3.           Finalmente tenemos una “tercera” posición, que es en realidad un desarrollo de la primera expuesta por Nicolai Hartmann (Ontología). Según ésta hablamos de verdad o falsedad en las matemáticas por contraste a la existencia “ideal” de los entes matemáticos y a las relaciones que éstos tiene entre sí. Esta existencia debe entenderse, por analogía, como la existencia de una realidad dada en una película o de lo que se nos presenta en la ejecución de un programa de computadora, que es una realidad para cuya explicación no basta explicar el funcionamiento electromagnético, el funcionamiento de programa o de cómo se hizo la película, ni menos el funcionamiento de la realidad física a nivel de micropartículas que hace posible que veamos la película o el videojuego.

En este sentido, Hartmann dice que cuando decimos “hay entre cada dos números una serie infinita de fraccionarios” o “hay sólo una recta entre dos puntos” estamos hablando de lo que hay y de lo que no hay. No son meros juicios lógicos, como diría Ayer. Estos  juicios tampoco enuncian “yo pienso así” o “necesito pensar así”. Enuncian un ser y no un pensar subjetivo. Pues en el juicio matemático, no está encerrado nada que trate del juicio mismo. Expresa mas bien una relación “objetiva”. Esta puede descansar sobre un error. Pero justamente el que hablemos de juicios falsos hace evidente que estamos haciendo referencia a  una existencia del ser matemático. El error consiste en que lo enunciado no se ajuste al ente. Si no hubiese con qué contrastar la verdad o falsedad de una proposición matemática, no se podría hacer ninguna  distinción entre verdadero y falso.   

En ese sentido la afirmación de Ayer, de que los juicios matemáticos serían juicios analíticos y por lo tanto tautológicos y triviales estaría errada, porque la proposición matemática está constituida de tal modo que no se enuncia a sí misma. El “es” no se refiere a que se diga que el sujeto del juicio “sea (por definición)” tal o cual, sino a que ES algo distinto, un ente, el objeto matemático... Si no hubiese nada a lo que el concepto y el juicio pudieran ajustarse,  la distinción entre verdadero y falso caducaría.

Resumiendo en base a estas tres posiciones, propongo como explicación del hecho de que 5+7=12 nos parece una verdad absoluta, lo siguiente:

Que nuestros cerebros a nivel de especie humana están organizados a modo de máquinas bioquímicas que funcionan en base a impulsos bioquímicos los cuales transmiten y procesan información percibida del mundo exterior e información previamente elaborada según lo que llamamos las leyes elementales de la lógica.

En ese sentido y en vista de que la estructura y el funcionamiento del cerebro es el mismo para todos  los seres humanos, la aplicación de la lógica sobre las abstracciones numéricas y de magnitudes darán los mismos resultados, a los cuales nos referimos como una entidad independiente de nosotros. La realidad matemática. Es por ello que la matemática nos parece evidente y podemos “enseñar” a “entender” la matemática, y por lo que la verdad o falsedad de las proposiciones matemáticas no dependen del parecer del sujeto individual, sino que cuando los resultados de la proposición matemática no corresponden “a la realidad matemática” hablamos de “error” o “engaño”, según el contexto.

Con estas apreciaciones abro el debate de esta noche.